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第7章（第3页）

哲学的特征就在于，从貌似微不足道的简单事物出发，最终得出貌似自相矛盾以至于无人相信的结论。

伯特兰·罗素

数学家就像小情人。给数学家提供一丁点儿原则，他就会由此推导出一个结果并向你索取它，接下来他还会从这个结果推导出下一个同样会向你索取的结果。

贝尔纳·德·丰特奈尔（Bernard de Fontenelle）

纯粹的逻辑推理分球悖论

在数学领域，最著名的违背常理的命题便是著名的“巴拿赫–塔斯基分球悖论”：先按照你想要的任意尺寸挑选一个球，比如说足球。然后我们把它分为5部分，将各部分重新排列，最终将它们重新制作成两个与原来的球体积相同的球。再把这两个球各自重新排列、制作一遍，那么你就可以得到4个球。这样不断做下去，你肯定能把宇宙都填满。

这听起来是一个很有用的定理，尤其当你不能确认会来参加你的生日宴会的朋友总数时。你只需要按照你想要的尺寸烤一个蛋糕（要是这个定理生效的话，你甚至无须特意烤球形的蛋糕），把它切成形状合适的5份，然后把它们按照正确的方式重新组合起来，那么现在你就获得了两个蛋糕。

当然，很不幸的是，在现实世界中，我们只能找到由原子和原子周围巨大的空间组成的实实在在的物质，任何物体都不例外。“巴拿赫–塔斯基分球悖论”冲击着我们的直觉，是因为我们对它提到的所谓真实的固体的状态并无任何了解。

我们知道“巴拿赫–塔斯基分球悖论”在逻辑上是成立的，只不过我们并没有证据来证明它，更不能依靠直觉或洞察力来揭示它，而只能靠纯粹的逻辑推导来得出这样的结论，这种简单的证明是任何一位数学专业的大一新生都能理解的。反过来说，其证明只能依靠对数学法则和集合论的基本概念的掌握程度而不是我所强调的逻辑之外的理由来推导。但只要将那些基本概念作为条件，我们就能按照逻辑原理推导出“巴拿赫–塔斯基分球悖论”。

这个悖论的寓意就是，有些知识只能凭借逻辑推理来了解。这不仅适用于数学知识，还适用于我将介绍到的后文中的一些经济学范例。但我们还是先继续关注数学知识吧。

如果你想要一个简洁、漂亮且功能强大的很好的数学上的证明范例的话，你可以翻回到第三章的末尾事实上那是我所知道的最好的范例。在那一部分有一段讨论表明，有限的质数组成的列表不可能是完整的（或者，换句话说，质数有无限多个）。正如“巴拿赫–塔斯基分球悖论”，你永远无法通过纯粹的洞察力、直觉或“超感官知觉”来证明这个结论。它需要严格的证明。

举一个更令人吃惊的例子吧。从自然数里随机选择一个数，它不能被任意的平方数（1除外）整除的概率是多少呢？答案是很明确的，6/π2，或者大约。这里的π就是你在几何课上学到的圆周率那个约等于的数。像这样的数并没有什么值得人们感兴趣的地方，但π就这样突然跳到了你的面前。为什么圆的周长与直径的比居然突然出现在这样一个算术问题里呢？

证明6/π2是正确的答案，比证明质数有无限多个还要困难一些，但比证明“巴拿赫–塔斯基分球悖论”要简单一些。为了满足那些对此类内容感兴趣（而且还能良好掌握大学微积分知识）的人，我已经将自己的证明过程发布到了网上，网址是：。

纯粹的逻辑（2）

关于大肥猪的冷笑话

在数学里，纯粹的逻辑推理可以发现伟大的真理。在其他领域也是如此。例如，纯粹的逻辑无须补充任何证据可以告知我世界已经陷入重度空气污染中了。这听起来或许不足为奇。诚然，人们都不喜欢污染，但这并不能证明我们已经造成了太严重的污染。毕竟，人们都不喜欢收到账单，这也不能证明我们已经支付过太多账单了。污染，就像埋单一样，是那些我们珍视的事物（例如电力、现代建筑和乘飞机旅行）所附带的令人不愉快的副产品。确切的数目当然不会为零。